Петоъгълник
![](http://chped.net/https/upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/01/Regular_polygon_5_annotated.svg/220px-Regular_polygon_5_annotated.svg.png)
Петоъгълникът (също и пентагон, от старогръцки: πεντα + γωνία – „пет“ + „ъгъл“) е многоъгълник с пет страни и ъгли.[1] Сборът на всички вътрешни ъгли е 540° (3π). Петоъгълникът е единственият многоъгълник с равен брой страни и диагонали – по 5.
Правилен петоъгълник[редактиране | редактиране на кода]
При правилния петоъгълник всички страни и ъгли са равни. Вътрешният ъгъл е 108°, а външният и централният – 72°. Диагоналите на правилния петоъгълник образуват петолъчна звезда, наречена пентаграм.
Дължина на диагонала[редактиране | редактиране на кода]
Дължината на диагоналът на правилен петоъгълник със страна а
Или съотношението на дължините на диагонал D и страна a е златното сечение.
Радиус на описаната окръжност[редактиране | редактиране на кода]
Дължината на радиусът на описаната окръжност R на правилен петоъгълник със страна a
Лице[редактиране | редактиране на кода]
Лицето S на правилен петоъгълник може да бъде намерено по три начина:
- По страната a:
- По радиуса R на описаната окръжност:
- По радиуса r на вписаната окръжност (т.е. апотемата):
Построение[редактиране | редактиране на кода]
Тъй като 5 е просто число на Ферма, правилен петоъгълник може да бъде построен с линийка и пергел:[2]
Използване[редактиране | редактиране на кода]
Петоъгълни пана[редактиране | редактиране на кода]
![](http://chped.net/https/upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/PentagonTilings15.svg/220px-PentagonTilings15.svg.png)
Възможностите за покритие на равнината с изпъкнали петоъгълници се изучават системно от началото на 20в., като в 2017 г. с помощта на компютър е доказано твърдението, че са възможни само 15 варианта.[3]
![]() кайрско петоъгълно пано |
![]() цветовидно петоъгълно пано |
![]() призматично петоъгълно пано |
Непериодични моноедрични покрития[редактиране | редактиране на кода]
С петоъгълници могат да бъдат постигани пълни покрития с център на симетрия за всеки порядък над 2. [4]
![]() 5-кратна ротационна симетрия |
![]() 6-кратна ротационна симетрия (на Хиршхорн) |
![]() 7-кратна ротационна симетрия |
Шестоъгълно-петоъгълни покрития на равнината[редактиране | редактиране на кода]
![](http://chped.net/https/upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Pentagonal_Tessellation_of_Hexagons.png/220px-Pentagonal_Tessellation_of_Hexagons.png)
Лесно се установява, че шестоъгълник може да бъде разложен, и то по няколко начина, на комбинация от неправилни петоъгълници. Доколкото шестоъгълниците запълват равнината, това остава в сила и при разлагането им.
![]() Покритие с един тип „половинка“. |
![]() Покритие с един тип „третинка“. |
![]() Покритие с един тип „четвъртинка“. |
![]() Покритие със смесена комбинация (3+9). |
|
Вижте също[редактиране | редактиране на кода]
Източници[редактиране | редактиране на кода]
- ↑ Речник на българския език, том 12, стр. 325, БАН, 2004
- ↑ Constructible Polygon, mathworld.wolfram.com
- ↑ Rao, Michaël (2017), "Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane" (PDF), Manuscript: 16, Bibcode:2017arXiv170800274R (неофициална публикация
- ↑ Klaassen, Bernhard. Rotationally symmetric tilings with convex pentagons and hexagons // Elemente der Mathematik 71 (4). 2016. DOI:10.4171/em/310. с. 137 – 144.
|